Умножение дроби на целое число пример. Умножение трех и большего количества дробей

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311 , а 0,01 как 1 .

Получили 311 . Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй - два. Общее количество цифр после запятых:

Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

При умножении любой десятичной дроби на 10; 100; 1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

• 70,1 · 10 = 701
• 0,023 · 100 = 2,3
• 5,6 · 1 000 = 5 600

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

Считаем и ноль целых!

• 12 · 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

Умножение дробей

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

• числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Как умножить дробь на целое число правило

I. Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в данной дроби.

Примеры. Выполнить умножение: 1) 1,25·7; 2) 0,345·8; 3) 2,391·14.

Решение.

II . Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном результате отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Примеры. Выполнить умножение: 1) 18, 2·0,09; 2) 3,2·0,065; 3) 0,54·12,3.

Решение.

III. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр.

Примеры. Выполнить умножение: 1) 3,25·10; 2) 0,637·100; 3) 4,307·1000; 4) 2,04·1000; 5) 0,00031·10000.

Решение.

IV. Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.

Примеры. Выполнить умножение: 1) 28,3·0,1; 2) 324,7·0,01; 3) 6,85·0,01; 4) 6179,5·0,001; 5) 92,1·0,0001.

www.mathematics-repetition.com

Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями, сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей . Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.

Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и умножение действительных чисел .

Навигация по странице.

Общие принципы умножения десятичных дробей

Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.

Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей. Иными словами, умножение конечных десятичных дробей , умножение конечной и периодической десятичных дробей , а также умножение периодических десятичных дробей сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные.

Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.

Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .

Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то. Можно провести сокращение дроби, после чего выделить целую часть из неправильной дроби, а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .

Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в следующем пункте.

Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.

Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .

Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:

Тогда. Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь:

Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите округление чисел ), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.

Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .

Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .

Умножение десятичных дробей столбиком

Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел.

Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком . Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:

• не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
• в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.

Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.

Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .

Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:

Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:

В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .

Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .

Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:

Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7 цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8 цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:

На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.

Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.

Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.

Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .

Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .

Умножение десятичной дроби на натуральное число

По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.

Вычислите произведение 15·2,27 .

Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:

При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.

Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .

А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.

Выполните умножение 4·2,145… .

Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .

Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.

Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.

Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .

Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .

Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

Озвученное правило справедливо и для умножения бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … При умножении периодических десятичных дробей нужно быть аккуратными с периодом дроби, которая является результатом умножения.

Умножьте периодическую десятичную дробь 5,32(672) на 1 000 .

Перед умножением распишем периодическую десятичную дробь как 5,32672672672… , это нам позволит не допустить ошибки. Теперь перенесем запятую вправо на 3 знака, имеем 5 326,726726… . Таким образом, после умножения получается периодическая десятичная дробь 5 326,(726) .

5,32(672)·1 000=5 326,(726) .

При умножении бесконечных непериодических дробей на 10, 100, … нужно предварительно провести округление бесконечной дроби до некоторого разряда, после чего проводить умножение.

Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число

Для умножения конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, нужно десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби, после чего провести умножение.

Проведите умножение десятичной дроби 0,4 на смешанное число.

Так как 0,4=4/10=2/5 и, то. Полученное число можно записать в виде периодической десятичной дроби 1,5(3) .

При умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, обыкновенную дробь или смешанное число следует заменить десятичной дробью, после чего провести округление умножаемых дробей и закончить вычисления.

Так как 2/3=0,6666… , то. После округления умножаемых дробей до тысячных, приходим к произведению двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667 . Выполним умножение в столбик:

Полученный результат следует округлить до тысячных, так как умножаемые дроби были взяты с точностью до тысячных, имеем 2,379856≈2,380 .

www.cleverstudents.ru

Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.

Продолжим изучать действия с обыкновенными дробями. Сейчас в центре внимания умножение обыкновенных дробей . В этой статье мы дадим правило умножения обыкновенных дробей, рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Также остановимся на умножении обыкновенной дроби на натуральное число. В заключение рассмотрим, как проводится умножение трех и большего количества дробей.

Навигация по странице.

Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь

Начнем с формулировки правила умножения обыкновенных дробей : умножение дроби на дробь дает дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

То есть, умножению обыкновенных дробей a/b и c/d отвечает формула .

Приведем пример, иллюстрирующий правило умножения обыкновенных дробей. Рассмотрим квадрат со стороной 1 ед. , при этом его площадь равна 1 ед 2 . Разделим этот квадрат на равные прямоугольники со сторонами 1/4 ед. и 1/8 ед. , при этом исходный квадрат будет состоять из 4·8=32 прямоугольников, следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет 1/32 долю площади исходного квадрата, то есть, она равна 1/32 ед 2 . Теперь закрасим часть исходного квадрата. Все наши действия отражает рисунок ниже.

Стороны закрашенного прямоугольника равны 5/8 ед. и 3/4 ед. , значит, его площадь равна произведению дробей 5/8 и 3/4 , то есть, ед 2 . Но закрашенный прямоугольник состоит из 15 «маленьких» прямоугольников, значит, его площадь равна 15/32 ед 2 . Следовательно, . Так как 5·3=15 и 8·4=32 , то последнее равенство можно переписать как , что подтверждает формулу умножения обыкновенных дробей вида .

Заметим, что с помощью озвученного правила умножения можно умножать и правильные и неправильные дроби, и дроби с одинаковыми знаменателями, и дроби с разными знаменателями.

Рассмотрим примеры умножения обыкновенных дробей .

Выполните умножение обыкновенной дроби 7/11 на обыкновенную дробь 9/8 .

Произведение числителей умножаемых дробей 7 и 9 равно 63 , а произведение знаменателей 11 и 8 равно 88 . Таким образом, умножение обыкновенных дробей 7/11 и 9/8 дает дробь 63/88 .

Вот краткая запись решения: .

Не следует забывать про сокращение полученной дроби, если в результате умножения получается сократимая дробь, и про выделение целой части из неправильной дроби.

Выполните умножение дробей 4/15 и 55/6 .

Применим правило умножения обыкновенных дробей: .

Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 10 позволяет утверждать, что числитель и знаменатель дроби 220/90 имеют общий множитель 10). Выполним сокращение дроби 220/90: НОД(220, 90)=10 и . Осталось выделить целую часть из полученной неправильной дроби: .

Заметим, что сокращение дроби можно проводить до вычисления произведений числителей и произведений знаменателей умножаемых дробей, то есть, когда дробь имеет вид . Для этого числа a , b , c и d заменяются их разложениями на простые множители, после чего сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.

Для пояснения, вернемся к предыдущему примеру.

Вычислите произведение дробей вида .

По формуле умножения обыкновенных дробей имеем .

Так как 4=2·2 , 55=5·11 , 15=3·5 и 6=2·3 , то . Теперь сокращаем общие простые множители: .

Остается лишь вычислить произведения в числителе и знаменателе, после чего выделить целую часть из неправильной дроби: .

Следует отметить, что для умножения дробей характерно переместительное свойство, то есть, умножаемые дроби можно менять местами: .

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Начнем с формулировки правила умножения обыкновенной дроби на натуральное число : умножение дроби на натуральное число дает дробь, числитель которой равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби.

С помощью букв правило умножения дроби a/b на натуральное число n имеет вид .

Формула следует из формулы умножения двух обыкновенных дробей вида . Действительно, представив натуральное число как дробь со знаменателем 1, получим .

Рассмотрим примеры умножения дроби на натуральное число.

Выполните умножение дроби 2/27 на 5 .

Умножение числителя 2 на число 5 дает 10 , поэтому в силу правила умножения дроби на натуральное число, произведение 2/27 на 5 равно дроби 10/27 .

Все решение удобно записывать так: .

При умножении дроби на натуральное число полученную дробь часто приходится сокращать, а если она еще и неправильная, то представлять ее в виде смешанного числа.

Умножьте дробь 5/12 на число 8 .

По формуле умножения дроби на натуральное число имеем . Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 2 указывает на общий делитель 2 числителя и знаменателя). Выполним сокращение дроби 40/12: так как НОК(40, 12)=4 , то . Осталось выделить целую часть: .

Вот все решение: .

Отметим, что сокращение можно было провести, заменив числа в числителе и знаменателе их разложениями на простые множители. В этом случае решение выглядело бы так: .

В заключение этого пункта заметим, что умножение дроби на натуральное число обладает переместительным свойством, то есть, произведение дроби на натуральное число равно произведению этого натурального числа на дробь: .

Умножение трех и большего количества дробей

То, как мы определили обыкновенные дроби и действие умножение с ними, позволяет утверждать, что все свойства умножения натуральных чисел распространяются и на умножение дробей.

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют однозначно определить умножение трех и большего количества дробей и натуральных чисел . При этом все происходит по аналогии с умножением трех и большего количества натуральных чисел. В частности, дроби и натуральные числа в произведении можно для удобства вычисления переставлять местами, а при отсутствии скобок, указывающих порядок выполнения действий, мы можем сами расставить скобки любым из допустимых способов.

Рассмотрим примеры умножения нескольких дробей и натуральных чисел.

Выполните умножение трех обыкновенных дробей 1/20 , 12/5 , 3/7 и 5/8 .

Запишем произведение, которое нам нужно вычислить . В силу правила умножения дробей записанное произведение равно дроби, числитель которой равен произведению числителей всех дробей, а знаменатель – произведению знаменателей: .

Прежде чем вычислить произведения в числителе и знаменателе, целесообразно заменить все множители их разложениями на простые множители и провести сокращение (можно, конечно, сократить дробь и после умножения, но во многих случаях это требует больших вычислительных усилий): .

.

Выполните умножение пяти чисел .

В этом произведении удобно сгруппировать дробь 7/8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5/36 , это позволит упростить вычисления, так как при такой группировке очевидно сокращение. Имеем
.

.

www.cleverstudents.ru

Популярное:

• При обращении в районный суд Уважаемые посетители сайта! Управление Федерального казначейства по г. Санкт-Петербургу (Межрайонная ИФНС России №10 по Санкт-Петербургу) ИНН налогового органа Номер счета получателя СЕВЕРО-ЗАПАДНОЕ […]
• Расчет госпошлины на снижение размера алиментов Суды придерживаются следующей позиции: Госпошлина рассчитывается от суммы, на которую уменьшается размер алиментов (от цены иска). Пример расчета размера госпошлины в суд при […]
• Деление десятичных дробей, правила, примеры, решения. Продолжаем изучать действия с десятичными дробями, пришло время поговорить про деление десятичных дробей. Начнем с общих принципов деления десятичных дробей. Дальше […]
• Статья 333.19 НК РФ. Размеры государственной пошлины по делам, рассматриваемым Верховным Судом Российской Федерации, судами общей юрисдикции, мировыми судьями СТ 333.19 НК РФ. 1. По делам, рассматриваемым Верховным Судом […]
• Типовое положение о комиссии (уполномоченном) по социальному страхованию N 556а "Типовое положение о комиссии (уполномоченном) по социальному страхованию" УТВЕРЖДАЮ Председатель Фонда социального страхования Российской Федерации […]
• Изменились реквизиты для оплаты госпошлины ВС РФ, а также АС г. Москвы и АС Московского округа Опубликованы новые банковские реквизиты для уплаты госпошлины по рассматриваемым делам в ВС РФ, Арбитражном суде города Москвы и […]
• Коллектор в бурении-это Горная порода с высокой пористостью и проницаемостью, содержащая извлекаемые количества нефти и газа. Основными классификационными признаками коллектора являются условия фильтрации и аккумуляции в них […]
• Наша группа в ВК Получить Скидку на обучение. Успей получить скидку 1000 рублей! Запись в автошколу Заполните эту форму, мы свяжемся с Вами и пригласим Вас на занятия. Добро пожаловать! 1. Предупреждающие знаки Предупреждающие […]

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.

Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.

Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.

Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 7 11 на 9 8 .

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

Все решение можно записать так:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 2 27 на 5 .

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter